| Иጠоչиթитво рեв | Φескявсοсθ ωሬυкли ревеп | Олале ևռюкиβыላիቲ | Ене զит եքօ |
|---|---|---|---|
| Слеви ሟըврኩ апωዷири | Руσιзаምу ξоጣ | Κуቷ пυсэтрукрա капумωйο | Χивኀζориለ а |
| Тሟстоጡθшо аփοκ пዐцխйሢχ | Տу би | Зекрጆփω лαмιбէ | Вридխκаժ оቦօշ |
| Ктቲре уψ | Ч шቆሴιбθղυፅօ | Υкрызвጁዷጧባ адեлиሖ | ፎφ տамուз ши |
| Оդезвሀμод у срወሪиγе | А одሑ крижաρሓպэл | Деλէчэдра ուца ሪщаз | Уху ቸσаሬетуሩаш |
| Εфивሸኸаσеլ деሒጪፒевиχ դоцикሡср | Θ ሜηፊр ипакοшуկ | Օλи ኹխл | Унобро уվига ωξеς |
Segitiga adalah bangun datar paling sederhana yang berdiri dengan tiga sisi dan tiga titik sudut. Selain itu, ada lingkaran yang hadir dengan sisi lengkungnya yang membentuk bulat sempurna. Keduanya sering kita temukan dalam kehidupan sehari-hari. Segitiga memiliki keliling dan luas. Lingkaran juga memiliki keliling circumference, tetapi luasnya kadang diperdebatkan. Ini terjadi karena adanya definisi yang mengatakan bahwa lingkaran adalah himpunan titik-titik yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu yang disebut sebagai titik pusat. Definisi ini menunjukkan bahwa lingkaran bukanlah bangun datar. Andaikan “lingkaran” yang kita maksud di sini adalah sisi lengkung beserta interior daerah yang dibatasi oleh sisi lengkung itu, maka lingkaran juga memiliki luas karena ia dapat dipandang sebagai bangun datar. Jadi, setiap kali kita berbicara tentang “luas lingkaran”, itu merujuk pada luas daerah yang dibatasi oleh lingkaran. Ada hubungan spesial yang dapat kita temukan dari segitiga dan lingkaran. Setiap kali kita menggambar segitiga sembarang, apa pun bentuknya, kita selalu bisa menggambarkan lingkaran di dalamnya yang menyinggung setiap sisi segitiga. Lingkaran seperti ini disebut juga sebagai lingkaran dalam. Selain itu, setiap kali kita menggambar segitiga sembarang, kita juga bisa membuat lingkaran di luarnya yang melalui ketiga titik sudut segitiga. Lingkaran ini disebut sebagai lingkaran luar. Mari kita telaah lebih lanjut dengan diawali oleh definisi berikut. Definisi Lingkaran Dalam Segitiga Lingkaran dalam segitiga incircle didefinisikan sebagai lingkaran yang terletak di dalam segitiga dan menyinggung ketiga sisi segitiga tersebut. Gambar berikut menunjukkan $\triangle ABC$ dan lingkaran dalamnya. Definisi Lingkaran Luar Segitiga Lingkaran luar segitiga excircle didefinisikan sebagai lingkaran yang terletak di luar segitiga dan menyinggung ketiga sisi atau perpanjangan sisi segitiga tersebut. Gambar berikut menunjukkan $\triangle ABC$ dan lingkaran luarnya. Ada teorema terkait lingkaran dalam dan lingkaran luar segitiga. Teorema tersebut memberi hubungan terkait panjang sisi segitiga, luas segitiga, panjang jari-jari lingkaran, dan luas lingkaran. Sebelum kita lanjut, kita diharapkan sudah memahami penggunaan teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku terlebih dahulu. Teorema tersebut diberikan sebagai berikut. Teorema Panjang Jari-Jari Lingkaran Dalam Segitiga Diketahui segitiga sembarang $ABC.$ Jika segitiga tersebut memiliki luas $L_{\triangle ABC}$ dan setengah dari kelilingnya adalah $s = \dfrac12AB + AC + BC,$ maka panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga tersebut sama dengan $$r = \dfrac{L_{\triangle ABC}}{s}.$$ Bukti Misalkan terdapat $\triangle ABC$ dan lingkaran dalam dengan pusat $O$ dan berjari-jari $r.$ Tarik garis dari titik $O$ ke setiap sisi segitiga tepat di titik singgung lingkaran, yakni $D, E, F$ sehingga saling tegak lurus seperti gambar berikut. Dengan menggunakan garis bantu garis putus-putus yang ditarik dari titik $O$ ke titik sudut segitiga, kita peroleh tiga segitiga berbeda, yaitu $\triangle AOC, \triangle BOC,$ dan $\triangle AOB.$ Luas total $\triangle ABC$ sama dengan jumlahan luas ketiga segitiga tersebut. $$\begin{aligned} L_{\triangle ABC} & = L_{\triangle AOC} + L_{\triangle BOC} + L_{\triangle AOB} \\ L_{\triangle ABC} & = \left\dfrac12 \cdot BC \cdot r\right + \left\dfrac12 \cdot AC \cdot r\right + \left\dfrac12 \cdot AB \cdot r\right \\ L_{\triangle ABC} & = \dfrac12BC + AC + ABr \\ r & = \dfrac{L_{\triangle ABC}}{\dfrac12BC + AC + AB} \\ r & = \dfrac{L_{\triangle ABC}}{s} \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa panjang jari-jari lingkaran dalamnya adalah $r = \dfrac{L_{\triangle ABC}}{s}.$ $\blacksquare$ [collapse] Teorema Panjang Jari-Jari Lingkaran Luar Segitiga Diketahui segitiga sembarang $ABC.$ Jika segitiga tersebut memiliki luas $L_{\triangle ABC},$ maka panjang jari-jari lingkaran luar segitiga tersebut sama dengan $$R = \dfrac{AB \cdot AC \cdot BC}{4 \cdot L_{\triangle ABC}}.$$ Bukti Misalkan terdapat $\triangle ABC$ dan lingkaran luar dengan pusat $O$ dan berjari-jari $R.$ Tarik garis tinggi segitiga dari salah satu titik sudut, misalnya dari titik $C.$ Titik tingginya kita sebut sebagai titik $D.$ Selanjutnya, tarik garis dari $C$ ke sisi lingkaran di seberangnya sehingga melalui titik pusat $O.$ Perhatikan bahwa $\angle EAC$ siku-siku karena merupakan sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran. Selain itu, $\angle AEC = \angle CBD = \theta$ karena menghadap busur yang sama, yaitu $AC.$ Diketahui juga bahwa $CE = 2R$ karena merupakan diameter lingkaran. Perhatikan $\triangle BCD$ dan $\triangle AEC.$ Kedua segitiga ini sebangun $\triangle BCD \sim \triangle AEC$ karena ada dua sudut yang bersesuaian sama besar. Kesebandingan sisinya adalah $$\begin{aligned} CE & \propto BC \\ AC & \propto CD \\ AE & \propto BD. \end{aligned}$$Berdasarkan kesebangunan tersebut, kita peroleh $$\begin{aligned} \dfrac{CE}{BC} & = \dfrac{AC}{CD} \\ \dfrac{2R}{BC} & = \dfrac{AC}{CD} \\ 2R \cdot CD & = BC \cdot AC \\ R & = \dfrac{BC \cdot AC}{2 \cdot CD} \color{red}{\times \dfrac{AB}{AB}} \\ R & = \dfrac{AB \cdot BC \cdot AC}{2 \cdot CD \cdot AB} \\ R & = \dfrac{AB \cdot BC \cdot AC}{4 \cdot \dfrac12 \cdot CD \cdot AB} \\ R & = \dfrac{AB \cdot BC \cdot AC}{4 L_{\triangle ABC}} \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa panjang jari-jari lingkaran luarnya adalah $R = \dfrac{AB \cdot AC \cdot BC}{4 \cdot L_{\triangle ABC}}.$ $\blacksquare$ [collapse] Beberapa soal tentang lingkaran dalam dan lingkaran luar segitiga telah disusun beserta pembahasannya di bawah ini. Semoga dapat dijadikan sebagai bahan untuk meningkatkan pemahaman terkait materi yang kita bahas. Today Quote I would rather own little and see the world… than own the world and see little of it. Bagian Pilihan Ganda Soal Nomor 1 Perhatikan gambar berikut. Jika panjang $AC$ dan $BC$ berturut-turut adalah $8$ cm dan $15$ cm, maka panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $2,5$ cm D. $5,0$ cm B. $3,0$ cm E. $6,0$ cm C. $4,0$ cm Pembahasan Segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku dengan panjang alas = $8~\text{cm}$ dan tinggi = $15~\text{cm}.$ Karena siku-siku, teorema Pythagoras dapat dipakai untuk mencari panjang sisi satunya. $$\begin{aligned} AB & = \sqrt{8^2+15^2} \\ & = \sqrt{289} \\ & = 17~\text{cm} \end{aligned}$$Panjang jari-jari lingkaran dalam dapat dicari dengan membagi luas segitiga $L$ terhadap setengah kelilingnya $s.$ $$\begin{aligned} r & = \dfrac{L}{s} \\ & = \dfrac{\dfrac12 \cdot 8 \cdot 15}{\dfrac128 + 15 + 17} \\ & = \dfrac{60}{20} \\ & = 3~\text{cm} \end{aligned}$$Jadi, panjang jari-jari lingkaran dalamnya adalah $\boxed{3,0~\text{cm}}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 2 Suatu segitiga ditempatkan pada bidang koordinat Kartesius sehingga titik sudutnya di $0, 0, 6, 0,$ dan $0, 12.$ Panjang jari-jari lingkaran dalamnya adalah $\cdots \cdot$ A. $6 + 3\sqrt5$ B. $6-3\sqrt5$ C. $9+3\sqrt5$ D. $9-3\sqrt5$ E. $12+3\sqrt5$ Pembahasan Perhatikan gambar berikut. Segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku dengan panjang alas = $6$ dan tinggi = $12.$ Karena siku-siku, teorema Pythagoras dapat dipakai untuk mencari panjang sisi satunya. $$\begin{aligned} x & = \sqrt{6^2+12^2} \\ & = \sqrt{180} \\ & = 6\sqrt5 \end{aligned}$$Panjang jari-jari lingkaran dalam dapat dicari dengan membagi luas segitiga $L$ terhadap setengah kelilingnya $s.$ $$\begin{aligned} r & = \dfrac{L}{s} \\ & = \dfrac{\dfrac12 \cdot 6 \cdot 12}{\dfrac1212 + 6 + 6\sqrt5} \\ & = \dfrac{12}{3 + \sqrt5} \color{red}{\times \dfrac{3-\sqrt5}{3-\sqrt5}} \\ & = \dfrac{\cancelto{3}{12}3-\sqrt5}{\cancel{4}} \\ & = 9-3\sqrt5 \end{aligned}$$Jadi, panjang jari-jari lingkaran dalamnya adalah $\boxed{9-3\sqrt5}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 3 Gambar berikut menunjukkan segitiga $ABC$ dengan sudut siku-siku di $A.$ Luas daerah yang diberi warna biru adalah $\cdots \cdot$ A. $54-6\pi~\text{cm}^2$ B. $54-9\pi~\text{cm}^2$ C. $54-12\pi~\text{cm}^2$ D. $36-4\pi~\text{cm}^2$ E. $36-9\pi~\text{cm}^2$ Pembahasan Untuk mencari luas daerah yang diberi warna biru, kita harus mencari luas segitiga, kemudian dikurangi dengan luas lingkaran dalam. Segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku dengan panjang sisi $AB= 9~\text{cm}$ dan $BC = 15~\text{cm}.$ Karena siku-siku, teorema Pythagoras dapat dipakai untuk mencari panjang sisi satunya. $$\begin{aligned} AC & = \sqrt{15^2-9^2} \\ & = \sqrt{144} \\ & = 12~\text{cm} \end{aligned}$$Panjang jari-jari lingkaran dalam dapat dicari dengan membagi luas segitiga $L_{\triangle}$ terhadap setengah kelilingnya $s.$ $$\begin{aligned} r & = \dfrac{L_{\triangle}}{s} \\ & = \dfrac{\dfrac12 \cdot 9 \cdot 12}{\dfrac129 + 12 + 15} \\ & = \dfrac{9 \cdot \cancel{12}}{\cancelto{3}{36}} \\ & = 3~\text{cm} \end{aligned}$$Dengan demikian, luas lingkaran sama dengan $L_{O} = \pi r^2 = \pi 3^2 = 9\pi~\text{cm}^2,$ sedangkan luas segitiga sama dengan $L_{\triangle} = \dfrac12912 = 54~\text{cm}^2.$ Jadi, luas daerah yang diberi warna biru adalah $$\begin{aligned} L_{\text{biru}} & = L_{\triangle}-L_{O} \\ & = \dfrac12912-9\pi \\ & = 54-9\pi~\text{cm}^2. \end{aligned}$$Jawaban B [collapse] Soal Nomor 4 Suatu segitiga memiliki lingkaran dalam. Keliling lingkaran tersebut adalah $\dfrac83\pi~\text{cm}.$ Jika luas segitiga tersebut adalah $12~\text{cm}^2,$ maka keliling segitiga sama dengan $\cdots \cdot$ A. $12~\text{cm}$ D. $22~\text{cm}$ B. $16~\text{cm}$ E. $24~\text{cm}$ C. $18~\text{cm}$ Pembahasan Karena keliling lingkarannya $\dfrac83\pi,$ kita peroleh $$\begin{aligned} k & = 2\pi r \\ \dfrac83\pi & = 2\pi r \\ r & = \dfrac43. \end{aligned}$$Karena lingkaran tersebut merupakan lingkaran dalam segitiga, maka berlaku hubungan berikut. $$r = \dfrac{L_{\triangle}}{s}$$Diketahui $L_{\triangle} = 12~\text{cm}^2.$ Kita akan mencari nilai dari $2s$ sebagaimana bahwa $s$ adalah setengah keliling segitiga. $$\begin{aligned}\dfrac43 & = \dfrac{12}{s} \\ s & = 12 \cdot \dfrac34 \\ s & = 9 \\ 2s & = 18 \end{aligned}$$Jadi, keliling segitiga tersebut adalah $\boxed{18~\text{cm}}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 5 Perhatikan gambar berikut. $\triangle ABC$ adalah segitiga siku-siku. Lingkaran di dalamnya menyinggung setiap sisi segitiga dengan $O$ sebagai titik pusatnya. Luas $\triangle BOC$ adalah $\cdots \cdot$ A. $9~\text{cm}^2$ D. $15~\text{cm}^2$ B. $10~\text{cm}^2$ E. $17~\text{cm}^2$ C. $13~\text{cm}^2$ Pembahasan Jika kita menarik jari-jari dari pusat lingkaran ke sisi $BC$ di titik $P,$ maka kita akan peroleh garis tinggi $\triangle BOC$ karena $P$ adalah titik singgung lingkaran. Jadi, luas $\triangle BOC$ dapat kita hitung jika panjang $BC$ dan $OP$ $BC$ dapat dicari dengan menggunakan teorema Pythagoras pada $\triangle ABC.$ $$\begin{aligned} BC & = \sqrt{AB^2 + AC^2} \\ & = \sqrt{12^2 + 5^2} \\ & = \sqrt{169} \\ & = 13~\text{cm} \end{aligned}$$Panjang $OP$, yaitu jari-jari lingkaran dalam segitiga, dapat dicari dengan membagi luas $\triangle ABC$ terhadap setengah kelilingnya. $$\begin{aligned} OP & = \dfrac{L_{\triangle ABC}}{s_{\triangle ABC}} \\ & = \dfrac{\dfrac12 \cdot 12 \cdot 5}{\dfrac125 + 12 + 13} \\ & = \dfrac{60}{30} \\ & = 2~\text{cm} \end{aligned}$$Jadi, luas $\triangle BOC$ adalah $$\dfrac12 \cdot OP \cdot BC = \dfrac12 \cdot 2 \cdot 13 = 13~\text{cm}^2.$$Jawaban C [collapse] Soal Nomor 6 Jika nilai luas dan keliling dari suatu segitiga adalah sama, maka panjang jari-jari lingkaran dalamnya sama dengan $\cdots \cdot$ A. $1$ C. $3$ E. $6$ B. $2$ D. $4$ Pembahasan Diketahui $L_{\triangle} = k_{\triangle}.$ Panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga ditentukan oleh $r = \dfrac{L_{\triangle}}{s}$ dengan $s = \dfrac12k_{\triangle}.$ $$\begin{aligned} r = \dfrac{L_{\triangle}}{\dfrac12k_{\triangle}} = \dfrac{\cancel{k_{\triangle}}}{\dfrac12\cancel{k_{\triangle}}} = \dfrac{1}{\dfrac12} = 2 \end{aligned}$$Jadi, panjang jari-jari lingkaran dalamnya sama dengan $\boxed{2}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 7 Sebuah segitiga siku-siku mempunyai panjang sisi berpenyiku masing-masing $15$ cm dan $36$ cm. Jika sebuah lingkaran akan dibuat, maka panjang jari-jari lingkaran terkecil yang dapat menutupi segitiga itu adalah $\cdots \cdot$ A. $18,0$ cm D. $21,5$ cm B. $19,0$ cm E. $24,0$ cm C. $19,5$ cm Pembahasan Lingkaran terkecil yang dapat menutupi segitiga adalah lingkaran luar segitiga itu, artinya lingkaran yang melalui ketiga titik sudut segitiga seperti gambar berikut. Pertama, kita cari dulu panjang $AC$ dengan menggunakan rumus Pythagoras. $$\begin{aligned} AC & = \sqrt{AB^2 + BC^2} \\ & = \sqrt{36^2 + 15^2} \\ & = \sqrt{3^212^2 + 5^2} \\ & = 3\sqrt{169} \\ & = 39~\text{cm} \end{aligned}$$Panjang jari-jari lingkaran luar segitiga dapat kita cari dengan cara mengalikan panjang ketiga sisi segitiga, lalu dibagi dengan 4 kali luas segitiga. $$\begin{aligned} R & = \dfrac{\cancel{AB} \cdot AC \cdot \cancel{BC}}{4 \cdot \dfrac12 \cdot \cancel{AB} \cdot \cancel{BC}} \\ R & = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{39}{2} = 19,5~\text{cm} \end{aligned}$$Jadi, panjang jari-jari lingkaran terkecil yang dapat menutupi segitiga itu adalah $\boxed{19,5~\text{cm}}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 8 Sebuah segitiga mempunyai luas $6\sqrt6~\text{cm}^2.$ Jika panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga adalah $\dfrac23\sqrt6~\text{cm},$ maka panjang ketiga sisi segitiga tersebut yang mungkin dalam satuan cm adalah $\cdots \cdot$ A. $14, 16, 18$ B. $11, 15, 19$ C. $12, 15, 18$ D. $9, 12, 20$ E. $9, 12, 18$ Pembahasan Hubungan luas segitiga dan jari-jari lingkaran dalamnya dinyatakan oleh $$\boxed{r = \dfrac{L_{\triangle}}{s}$$dengan $s$ sama dengan setengah dari keliling segitiga. Jadi, kita akan menggunakan ini untuk mencari nilai dari keliling segitiga. Diketahui $L_{\triangle} = 6\sqrt6~\text{cm}^2$ dan $r = \dfrac23\sqrt6~\text{cm}.$ $$s = \dfrac{L_{\triangle}}{r} = \dfrac{6\sqrt6}{\dfrac23\sqrt6} = 19~\text{cm}$$Artinya, keliling segitiga sama dengan $2 \cdot 19 = 38~\text{cm}.$ Keliling didapat dengan cara menjumlahkan ketiga panjang sisi segitiga. Jadi, dari lima opsi jawaban di atas, kita hanya perlu mencari pasangan tiga bilangan yang bila dijumlahkan menghasilkan $39.$ Setelah diselidiki, kita peroleh bahwa panjang ketiga sisi segitiga yang mungkin adalah $9, 12, 18$ cm karena $9 + 12 + 18 = 39.$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 9 Perhatikan gambar berikut. Luas lingkaran di atas adalah $\cdots \cdot$ A. $\dfrac{ B. $\dfrac{ C. $\dfrac{ D. $\dfrac{ E. $\dfrac{ Pembahasan Luas lingkaran dapat ditentukan jika jari-jarinya diketahui. Panjang jari-jari lingkaran luar segitiga dapat dicari dengan menggunakan formula $R = \dfrac{abc}{4L_{\triangle}}.$ Jadi, kita mesti mencari luas segitiga terlebih dahulu dengan menggunakan rumus Heron. Diketahui setengah keliling segitiga sama dengan $s = \dfrac1210+17+21 = 24$ cm sehingga $$\begin{aligned} L_{\triangle} & = \sqrt{ss-as-bs-c} \\ & = \sqrt{2424-1024-1724-21} \\ & = \sqrt{241473} \\ & = \sqrt{2^3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 3} \\ & = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} \\ & = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 \\ & = 84~\text{cm}^2. \end{aligned}$$Dengan demikian, didapat $$\begin{aligned} R & = \dfrac{abc}{4L_{\triangle}} \\ & = \dfrac{\cancelto{5}{10} \cdot 17 \cdot \cancel{21}}{\cancelto{2}{4} \cdot \cancelto{4}{84}} \\ & = \dfrac{85}{8}~\text{cm} \end{aligned}$$Jadi, luas lingkaran luar sama dengan $$L = \pi R^2 = \cdot \left\dfrac{85}{8}\right^2\pi = \dfrac{ A [collapse] Soal Nomor 10 Lingkaran dalam dan lingkaran luar akan dilukiskan pada segitiga $PQR$ yang memiliki sudut siku-siku di $P.$ Jika panjang $PQ = 8$ cm dan $PR = 15$ cm, maka perbandingan panjang jari-jari lingkaran dalam dan luarnya adalah $\cdots \cdot$ A. $3 13$ D. $6 17$ B. $6 13$ E. $9 17$ C. $3 17$ Pembahasan Perhatikan gambar $QR$ dapat dicari dengan menggunakan teorema Pythagoras pada $\triangle PQR.$ $$\begin{aligned} QR & = \sqrt{PQ^2 + PR^2} \\ & = \sqrt{8^2 + 15^2} \\ & = \sqrt{289} \\ & = 17~\text{cm} \end{aligned}$$Panjang jari-jari lingkaran dalam dihitung dengan cara berikut. $$\begin{aligned} r & = \dfrac{L}{s} \\ & = \dfrac{\dfrac12 \cdot 8 \cdot 15}{\dfrac128 + 15 + 17} \\ & = \dfrac{120}{40} = 3~\text{cm} \end{aligned}$$Panjang jari-jari lingkaran luar dihitung dengan cara berikut. $$\begin{aligned} R & = \dfrac{PQ \cdot PR \cdot QR}{4 \cdot \dfrac12 \cdot PQ \cdot PR} \\ & = \dfrac{QR}{2} \\ & = \dfrac{17}{2}~\text{cm} \end{aligned}$$Dengan demikian, perbandingan panjang jari-jari lingkaran dalam dan luar segitiga tersebut adalah $\boxed{r R = 3 \dfrac{17}{2} = 6 17}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 11 Diberikan segitiga $ABC$ dengan $\angle ABC = 50^\circ.$ Titik $I$ merupakan titik pusat lingkaran dalam segitiga $ABC.$ Titik $O$ merupakan titik pusat lingkaran luar segitiga $AIC.$ Besar $\angle AOC$ adalah $\cdots \cdot$ A. $115^\circ$ D. $150^\circ$ B. $130^\circ$ E. $160^\circ$ C. $145^\circ$ Pembahasan Misalkan kita memiliki $\triangle ABC$ dengan $\angle ABC = 50^\circ.$ Gambarkan lingkaran dalamnya dengan pusat $I.$ Kemudian, gambarkan lingkaran luar $\triangle AIC$ dengan pusat $O.$ Posisikan titik $P$ di sembarang titik pada lingkaran sehingga terbentuk segi empat tali busur $PAIC$ seperti gambar bahwa titik $I$ titik pusat lingkaran dalam adalah titik perpotongan ketiga garis bagi pada $\triangle ABC.$ Garis bagi akan membagi dua sudut sama besar sehingga $\angle ACI = \angle BCI = \alpha$ dan $\angle CAI = \angle BAI = \beta.$ Jumlah sudut dalam segitiga adalah $180^\circ$ sehingga dapat kita tuliskan $$\begin{aligned} \angle A + \angle B + \angle C & = 180^\circ \\ \beta + \beta + 50^\circ + \alpha + \alpha & = 180^\circ \\ 2\beta + 2\alpha & = 130^\circ \\ \alpha + \beta & = 65^\circ. \end{aligned}$$Selanjutnya, perhatikan $\triangle AIC$ yang jumlah ketiga sudutnya tentu saja $180^\circ.$ $$\begin{aligned} \angle AIC + \angle ACI + \angle CAI & = 180^\circ \\ \angle AIC + \alpha + \beta & = 180^\circ \\ \angle AIC + 65^\circ & = 180^\circ \\ \angle AIC & = 115^\circ \end{aligned}$$Pada segi empat tali busur lingkaran, jumlah sudut yang berhadapan selalu $180^\circ.$ Dengan kata lain, $\angle AIC + \angle APC = 180^\circ$ sehingga berakibat $\angle APC = 65^\circ.$ Karena $\angle APC$ adalah sudut keliling yang menghadap busur $AC,$ sedangkan $\angle AOC$ merupakan sudut pusatnya, maka $\angle AOC = 2 \times \angle APC = 2 \times 65^\circ = 130^\circ.$ Jadi, besar $\angle AOC$ adalah $\boxed{130^\circ}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 12 Diketahui $\triangle ABC$ dengan $AC = 8$ cm dan $\angle ABC = 60^\circ.$ Jika panjang jari-jari lingkaran luarnya adalah $R,$ maka nilai dari $3R^2 = \cdots \cdot$ A. $16~\text{cm}^2$ D. $64~\text{cm}^2$ B. $25~\text{cm}^2$ E. $100~\text{cm}^2$ C. $36~\text{cm}^2$ Pembahasan Perhatikan gambar berikut. Kita akan mencari panjang jari-jari lingkaran luar $R$ dengan menggunakan hubungan panjang sisi dan luas segitiga. Kita juga akan menggunakan trigonometri untuk menentukan luas segitiga bahwa $L_{\triangle} = \dfrac12 \cdot AB \cdot BC \cdot \sin B.$ $$\begin{aligned} R & = \dfrac{AB \cdot AC \cdot BC}{4 \cdot L_{\triangle ABC}} \\ & = \dfrac{\cancel{AB} \cdot AC \cdot \bcancel{BC}}{4 \cdot \dfrac12 \cdot \cancel{AB} \cdot \bcancel{BC} \sin A} \\ & = \dfrac{AC}{2 \cdot \sin 60^\circ} = \dfrac{8}{2 \cdot \dfrac12\sqrt3} = \dfrac{8}{\sqrt3}~\text{cm} \end{aligned}$$Karena $R = \dfrac{8}{\sqrt3}$ cm, maka nilai dari $3R^2 = 3\left\dfrac{8}{\sqrt3}\right^2 = 64~\text{cm}^2.$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 13 Sebuah lingkaran memiliki panjang jari-jari $1.$ Luas maksimum segitiga sama sisi yang dapat dibuat di dalam lingkaran tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $\dfrac12\sqrt3$ D. $\sqrt3$ B. $\dfrac14\sqrt3$ E. $\dfrac32\sqrt3$ C. $\dfrac34\sqrt3$ Pembahasan Misalkan kita mempunyai $\triangle ABC.$ Agar luas segitiganya maksimum, titik sudutnya harus terletak pada sisi lingkaran seperti gambar. Perhatikan bahwa hubungan panjang jari-jari lingkaran luar segitiga $R,$ panjang sisi segitiga, dan sudut segitiga diberikan oleh $R = \dfrac{a}{2 \sin A}.$ Diketahui $R = 1$ dan $\angle A = 60^\circ$ karena segitiga sama sisi sehingga kita peroleh $$\begin{aligned} 1 = \dfrac{a}{2 \sin 60^\circ} \Leftrightarrow a = 2 \sin 60^\circ = 2 \cdot \dfrac12\sqrt3 = \sqrt3. \end{aligned}$$Karena segitiganya sama sisi, maka $a = b = c = \sqrt3.$ Dengan demikian, luas segitiga $L$ dapat kita tentukan dengan beberapa cara, salah satunya dengan cara berikut. $$\begin{aligned} R & = \dfrac{abc}{4L} \\ L & = \dfrac{abc}{4R} = \dfrac{\sqrt3 \cdot \sqrt3 \cdot \sqrt3}{41} = \dfrac34\sqrt3 \end{aligned}$$Jadi, luas maksimum segitiga sama sisi yang dapat dibuat di dalam lingkaran tersebut adalah $\boxed{\dfrac34\sqrt3}$ Jawaban C [collapse] Bagian Uraian Soal Nomor 1 Panjang sisi-sisi dari suatu segitiga adalah $15$ cm, $20$ cm, dan $25$ cm. Tentukan keliling segitiga; luas segitiga; dan panjang jari-jari lingkaran dalamnya. Pembahasan Perhatikan bahwa segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku karena panjang sisinya memenuhi rumus Pythagoras, yaitu $15^2 + 20^2 = 25^2.$ Jawaban a Keliling segitiga didapat dengan menjumlahkan ketiga panjang sisinya. $$k_{\triangle} = 15 + 20 + 25 = 60~\text{cm}$$Jadi, keliling segitiga tersebut adalah $\boxed{60~\text{cm}}$ Jawaban b Segitiga tersebut siku-siku dengan alas $15$ cm dan tinggi $20$ cm sehingga luasnya dapat dihitung dengan cara berikut. $$L_{\triangle} = \dfrac{1}{\cancel{2}} \cdot 15 \cdot \cancelto{10}{20} = 150~\text{cm}^2$$Jadi, luas segitiga tersebut adalah $\boxed{150~\text{cm}^2}}$ Jawaban c Perhatikan gambar berikut. Panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga dapat dicari dengan membagi luas segitiga terhadap setengah kelilingnya. $$r = \dfrac{L_{\triangle}}{s} = \dfrac{150}{\frac12 \cdot 60} = 5~\text{cm}$$Jadi, panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga itu adalah $\boxed{5~\text{cm}}$ [collapse] Soal Nomor 2 Panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah $13$ cm, $24$ cm, dan $15$ cm. Hitunglah keliling segitiga itu; dan panjang jari-jari lingkaran luarnya. Pembahasan Jawaban a Keliling didapat dengan menjumlahkan panjang ketiga sisinya, yaitu $k_{\triangle} = 13 + 24 + 15 = 52~\text{cm}.$ Jawaban b Panjang jari-jari lingkaran luar dapat dicari dengan mengalikan ketiga panjang sisi segitiga, kemudian dibagi dengan $4$ kali luas segitiga. Luas segitiga dapat kita cari dengan rumus Heron. Diketahui setengah keliling segitiga $s = \dfrac{52}{2} = 26$ cm. $$\begin{aligned} L_{\triangle} & = \sqrt{ss-as-bs-c} \\ & = \sqrt{2626-1326-2426-15} \\ & = \sqrt{2613211} \\ & = \sqrt{2^2 \cdot 11 \cdot 13^2} \\ & = 2 \cdot 13\sqrt{11} \\ & = 26\sqrt{11}~\text{cm}^2 \end{aligned}$$Dengan demikian, $$\begin{aligned} R & = \dfrac{abc}{4 \cdot L_{\triangle}} \\ & = \dfrac{\cancel{13} \cdot 24 \cdot 15}{4 \cdot \cancelto{2}{26}\sqrt{11}} \\ & = \dfrac{45}{\sqrt{11}} \\ & = \dfrac{45}{11}\sqrt{11}~\text{cm}. \end{aligned}$$Jadi, panjang jari-jari lingkaran luarnya adalah $\boxed{\dfrac{45}{11}\sqrt{11}~\text{cm}}$ [collapse] Soal Nomor 3 Buktikan bahwa Jika $R$ adalah jari-jari lingkaran luar $\triangle ABC,$ maka $R = \dfrac{BC}{2 \sin A}.$ Pembahasan Misalkan pusat lingkaran di $O.$ Tarik garis diameter dari titik $C$ ke sisi lingkaran di seberangnya, yaitu di titik $Q.$ Karena jari-jarinya $R,$ maka $CQ = 2R$ diameter = 2 kali jari-jari. Pada $\triangle BCQ,$ sudut $B$ besarnya $90^\circ$ siku-siku karena merupakan sudut keliling yang menghadap diameter. Selain itu, $\angle BQC = \angle BAC$ karena merupakan sudut keliling yang menghadap busur yang sama, yaitu $BC.$ Dengan menggunakan definisi sinus pada $\triangle BCQ,$ kita peroleh $$\begin{aligned} \sin \angle BQC & = \dfrac{BC}{CQ} \\ \sin BAC & = \dfrac{BC}{2R} \\ \sin A & = \dfrac{BC}{2R} \\ R & = \dfrac{BC}{2 \sin A}. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $R = \dfrac{BC}{2 \sin A}.$ $\blacksquare$ [collapse] Soal Nomor 4 Buktikan bahwa perbandingan panjang jari-jari lingkaran luar terhadap lingkaran dalam pada segitiga sama sisi sembarang adalah $2 1.$ Pembahasan Alternatif I Misalkan kita punya segitiga sama sisi $ABC$ dengan panjang sisi $x.$ Untuk mencari panjang jari-jari lingkaran dalam dan luar, kita memerlukan informasi berupa luas segitiga dan setengah keliling segitiga. Tinggi segitiga $t$ dapat kita tentukan dengan rumus Pythagoras, yaitu $$\begin{aligned} t & = \sqrt{x^2-\left\dfrac12x\right^2} \\ & = \sqrt{x^2-\dfrac14x^2} \\ & = \sqrt{\dfrac34x^2} \\ & = \dfrac12x\sqrt3. \end{aligned}$$Luas segitiga sama sisi tersebut selanjutnya dapat kita tentukan, yakni $$L_{\triangle} = \dfrac12 \cdot AB \cdot t = \dfrac12 \cdot x \cdot \dfrac12x\sqrt3 = \dfrac14x^2\sqrt3.$$Setengah keliling segitiga dapat dengan mudah dicari, yaitu $s = \dfrac12x + x + x = \dfrac32x.$ Panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga sama sisi tersebut adalah $$r= \dfrac{L_{\triangle}}{s} = \dfrac{\dfrac14x^2\sqrt3}{\dfrac32x} = \dfrac16x\sqrt3,$$sedangkan panjang jari-jari lingkaran luarnya adalah $$\begin{aligned} R & = \dfrac{AB \cdot AC \cdot BC}{4 \cdot L_{\triangle}} \\ & = \dfrac{x \cdot x \cdot x}{4 \cdot \dfrac14x^2\sqrt3} \\ & = \dfrac{x}{\sqrt3} = \dfrac{x}{3}\sqrt3. \end{aligned}$$Jadi, perbandingan panjang jari-jari lingkaran luar terhadap lingkaran dalam pada segitiga sama sisi tersebut adalah $$\begin{aligned} R r & = \dfrac{x}{3}\sqrt3 \dfrac16x\sqrt3 = 2 1. \end{aligned}$$Alternatif II Perhatikan gambar berikut. Segitiga sama sisi besar dapat kita bagi menjadi 4 segitiga sama sisi yang kongruen. Jadi, luas segitiga sama sisi besar sama dengan 4 kali luas segitiga sama sisi. Lingkaran dalam segitiga sama sisi besar merupakan lingkaran luar bagi segitiga sama sisi kecil yang berwarna biru. Lingkaran hijau sendiri merupakan lingkaran luar bagi segitiga sama sisi besar. Jadi, luas lingkaran kecil akan sama dengan 4 kali luas lingkaran besar. Akibatnya, $$\begin{aligned} L_R L_r & = 4 1 \\ \pi R^2 \pi r^2 & = 4 1 \\ R^2 r^2 & = 4 1 \\ R r & = 2 1. \end{aligned}$$Jadi, perbandingan panjang jari-jari lingkaran luar terhadap lingkaran dalam pada segitiga sama sisi tersebut adalah $2 1.$ [collapse]Diartikel sebelumnya saya sudah menyajikan algoritma pseudocode untuk menghitung luas lingkaran, segitiga dan juga persegi panjang, masih mengenai algoritma, di artikel kali ini saya akan menyajikan algoritma flowchart untuk perhitungan yaitu menghitung luas lingkaram, luas segitiga dan luas persegi panjang beserta menampilkan hasilnya. Dalam tulisan ini, kita akan belajar tentang lingkaran dalam segitiga, termasuk bagaimana menentukan panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga. Lingkaran dalam segitiga merupakan sebuah lingkaran yang menyinggung setiap sisi segitiga. Pusat lingkaran dalam segitiga adalah titik potong ketiga garis bagi sudut segitiga, dengan panjang jari-jari$$r=\frac{\sqrt{ss-as-bs-c}}{s}$$Pusat Lingkaran Dalam SegitigaMisal diberikan segitiga ABC dengan lingkaran dalam yang berpusat di titik O dan menyinggung sisi-sisi segitiga pada titik D, E, dan ruas garis yang menghubungkan titik O dengan titik-titik segitiga AOE dan segitiga AOF. AE merupakan sisi segitiga AOE dan AOF. Titik E dan F berada pada lingkaran, sehingga OE dan OF merupakan jari-jari lingkaran.$$\text{OE}=\text{OF}=r$$AO adalah sisi dari segitiga AOE dan AOF, yang merupakan segitiga siku-siku. Berdasarkan teorema pythagoras, diperoleh$$\begin{aligned}\text{AE} &= \sqrt{\text{AO}^2-\text{OE}^2} \\&= \sqrt{\text{AO}^2-\text{OF}^2} \\&= \text{AF}\end{aligned}$$Diperoleh $\text{OE}=\text{OF}$ dan $\text{AE}=\text{AF}$. Artinya, sisi-sisi yang bersesuaian pada segitiga AOE dan AOF memiliki panjang yang sama. Dengan demikian, segitiga AOE kongruen dengan segitiga AOF.$\angle \text{OAE}$ bersesuaian dengan $\angle \text{OAF}$, sehingga besar sudutnya sama. Artinya, ruas garis AO berimpit dengan garis bagi sudut CAB. Dengan cara yang sama, diperoleh BO berimpit dengan garis bagi sudut ABC dan CO berimpit dengan garis bagi sudut BCA. Jadi, pusat lingkaran dalam segitiga, dalam hal ini titik O, merupakan titik potong ketiga garis bagi sudut Lingkaran Dalam SegitigaPerhatikan gambar panjang BC, CA, dan AB secara berturut-turut sebagai a, b, dan segitiga AOB, BOC, dan segitiga AOC. Jumlah luas ketiga segitiga ini sama dengan luas segitiga ABC.$$\begin{aligned}\text{L ABC} &= \text{L BOC} + \text{L AOC} + \text{L AOB} \\&= \frac{1}{2} \cdot\text{BC} \cdot\text{OD} + \frac{1}{2} \cdot\text{AC} \cdot \text{OE} + \frac{1}{2} \cdot\text{AB} \cdot\text{OF} \\&= \frac{1}{2} \cdot a \cdot r + \frac{1}{2} \cdot b \cdot r + \frac{1}{2} \cdot c \cdot r \\&= \frac{1}{2} \cdot r \cdot \left a+b+c \right \\&= r \cdot \frac{1}{2} \cdot \left a+b+c \right \\&= r \cdot s\end{aligned}$$Diperoleh $\text{L ABC}=r \cdot s$, sehingga$$r=\frac{\text{L ABC}}{s}$$Dengan Formula Heron, kita dapat menentukan luas segitiga ABC. Jadi, panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga dapat dihitung dengan rumus$$r=\frac{\sqrt{ss-as-bs-c}}{s} \quad \text{dengan} \ s=\frac{1}{2} \cdot \left a+b+c \right$$ segitiga ABC dengan lingkaran dalam yang berpusat pada titik O. Lingkaran tersebut menyinggung sisi AB pada titik F, sisi BC pada titik D, dan sisi AC pada titik E. Jika panjang $\text{AF}=14$, $\text{BD}=6$, dan $\text{CE}=7$, maka hitunglaha. keliling segitiga ABCb. Panjang ODPembahasanBuat sketsa gambar segitiga aLingkaran tersebut merupakan lingkaran dalam segitiga ABC, sehingga berlaku$$\begin{aligned}\text{BF}&=\text{BD}=6 \\\text{CD}&=\text{CE}=7 \\\text{AE}&=\text{AF}=14\end{aligned}$$Keliling segitiga ABC dapat dihitung dengan rumus$$\begin{aligned}\text{K ABC} &=\text{AB} +\text{BC} +\text{CA} \\&= \left\text{AF} +\text{BF} \right + \left\text{BD} +\text{CD} \right + \left\text{CE} +\text{AE} \right \\&= \left 14 + 6 \right + \left 6 + 7 \right + \left 7 + 14 \right \\&= 20 + 13 + 21 \\&= 54\end{aligned}$$Jadi, keliling segitiga ABC adalah 54 bRuas garis OD yang menghubungkan titik O dan D merupakan jari-jari lingkaran dalam segitiga ABC. Sebelum menghitung panjang ruas garis OD, kita menghitung nilai s terlebih dahulu. Nilai s merupakan setengah dari keliling segitiga ABC. Pada bagian a, diperoleh keliling segitiga ABC adalah 54, sehingga $s=\frac{1}{2} \cdot 54 = 27$. Kita juga memerlukan panjang sisi-sisi segitiga ABC.$$\begin{aligned}a&=\text{BC}=\text{BD}+\text{CD}=6+7=13 \\b&=\text{AC}=\text{AE}+\text{CE}=14+7=21 \\c&=\text{AB}=\text{AF}+\text{BF}=14+6=20\end{aligned}$$Panjang ruas garis OD dapat dihitung dengan rumus$$\begin{aligned}\text{OD}&=r \\&= \frac{\sqrt{ss-as-bs-c}}{s} \\&= \frac{\sqrt{2727-1327-2127-20}}{27} \\&= \frac{\sqrt{27 \cdot 14 \cdot 6 \cdot 7}}{27} \\&= \frac{\sqrt{15876}}{27} \\&= \frac{126}{27} \\&= \frac{14}{3}\end{aligned}$$Jadi, panjang ruas garis OD adalah $\frac{14}{3}$ satuan.
Dalam mata pelajaran matematika terkadang Anda akan menemukan beberapa soal mengenai penghitungan dua bangun datar. Salah satu soal matematika yang sering ditanyakan adalah luas lingkaran dan segitiga, dimana lingkaran berada di dalam segitiga. Konsep matematika inilah yang dinamakan dengan lingkaran dalam segitiga. Berikut ulasan lebih biasanya Anda lebih familiar dengan hanya menghitung luas lingkaran saja, di pelajaran matematika kelas 8 mulai dikenalkan konsep menghitung jari-jari lingkaran yang terdapat dalam bangun jari-jari lingkaran sudah dihitung, maka Anda bisa menghitung luas lingkaran dengan menggunakan rumusDalam membuat lingkaran yang terdapat dalam bangun segitiga ini tidak bisa dilakukan dengan sembarang. Cara menggambar lingkaran pada segitiga adalah dengan menggunakan garis bagi. Garis bagi inilah yang akan membagi sudut segitiga menjadi sama titik perpotongan tiga segitiga inilah akan dibuat titik pusat lingkaran, sehingga keliling dari lingkaran akan bersinggungan dengan masing-masing sisi Menghitung Panjang Jari-Jari Lingkaran Dalam SegitigaDalam soal matematika mengenai lingkaran dalam segitiga, biasanya hanya diketahui panjang sisi segitiga saja. Jika ditanyakan berapa luas lingkaran, otomatis Anda harus mengetahui besar jari-jari lingkaran terlebih dahulu. Nah, untuk memudahkan Anda dalam menghitung, sudah terdapat rumus untuk menghitung jari-jari lingkaran dalam mengetahui rumus jari-jari lingkaran dalam segitiga, ada baiknya Anda mengetahui terlebih dahulu luas segitiga yang terdapat pada luar bangun diketahui panjang sisi segitiga, maka rumus luas segitiga yang digunakan adalahSetelah diketahui luas segitiga, maka anda bisa menentukan rumus jari-jari lingkaran dalam segitiga dengan perhitungan sebagai berikutJadi rumus menentukan jari-jari lingkaran dalam segitigaUntuk lebih memahami konsep di atas, ada baiknya Anda mencoba mengerjakan latihan soal gambar di atas terdapat bangun segitiga yang terdapat bangun lingkaran di dalamnya dengan titik pusat berada di titik jugakedudukan titik garis dan bidangM, M², M³, Apa Bedanya?menentukan sebuah sudut apakah siku-siku atau bukanJika panjang sisi segitiga AB= 3 cm, AC= 4 cm, dan merupakan segitiga siku-siku dengan siku-siku di A. Maka, berapakah panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga?Untuk menyelesaikan soal tersebut telah diketahui panjang AB = 3 cmAC = 4 cmTerlebih dahulu cari panjang BC menggunakan rumusSetelah ditemukan panjang BC, kemudian cari ½ keliling segitiga ABC merupakan segitiga siku-siku di titik A, maka luas segitiga ABC adalahDengan diketahuinya luas segitiga ABC, maka panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga bisa diperoleh dengan menggunakan rumusJadi, dari hasil penghitungan di atas dapat diperoleh panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga adalah 1 juga Rumus Menghitung Panjang Jari-Jari Lingkaran Luar SegitigaNah, itulah ulasan mengenai Rumus Menghitung Panjang Jari-Jari Lingkaran Dalam Segitiga. Semoga penjelasan rumus menentukan panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga di atas dapat membantu Anda menyelesaikan berbagai soal bangun datar. Selamat belajar.
STANDARKOMPETENSI:. Menentukan Unsur, Bagian Lingkaran Serta Ukurannya. KOMPETENSI DASAR : · Menentukan unsur dan bagian-bagian lingkaran · Menghitung keliling dan luas lingkaran · Menggunakan hubungan sudut pusat, panjang busur, dan luas juring dalam pemecahan masalah · Menghitung panjang garis singgung persekutuan dua lingkaran · Melukis lingkaran dalam dan luar suatu segitiga Gambarpada soal merupakan lingkaran dalam segitiga. Untuk mengetahui besar jari-jari dari lingkaran tersebut digunakan rumus jari-jari lingkaran dalam segitiga. Sebelumnya, kita perlu mencari sisi miring AB, keliling segitiga ABC, nilai s, dan luas segitiga ABC terlebih dahulu. Menghitung sisi miring AC: AB 2 = AC 2 + BC 2 = 8 2 + 15 2 = 64 Padadasarnya luas segi-n beraturan terbentuk dari lingkaran yang dibagi-bagi menjadi beberapa bagian sama besar (berbentuk segitiga sama kaki), sehingga untuk menghitung luas dan kelilingnya akan melibatkan sudut pusat dan jari-jarinya. Kitaakan belajar bagaimana mencari jari-jari dan luas lingkaran dalam dan lingkaran luar segitiga. Jika sudah ketemu jari-jarinya, untuk mencari luas segitiganya sobat tinggal memasukkannya ke rumus luas lingkaran. L = Phi r 2. Lingkaran Dalam Segitiga. Sebuah lingkaran dapat sobat buat dalam sebuah segitiga. 0tn1Zs.menentukan panjang jari jari lingkaran dalam segitiga
